دوزلی اوغلان آذربایجانی تورکی شعر موزیک

فرمولهای لگاریتم

<br/><a href="http://i36.tinypic.com/wk1kt0.jpg" target="_blank">View Raw Image</a>

+ نوشته شده در ساعت توسط وحید شکرزاده |

فرمول های مشتق

مشتق توابع جبری

مشتق توابع مثلثاتی

<br/><a href="http://i36.tinypic.com/9u6g3o.jpg" target="_blank">View Raw Image</a>

مشتق توابع معکوس مثلثاتی

مشتق توابع نمایی

مشتق تابع مرکب و قدر مطلق

+ نوشته شده در ساعت توسط وحید شکرزاده |

فرمولهای مثلثات

$\cos^{2} A + \sin^{2} A = 1 \,$

$\ cos (a+b)=cos a\times\ cos b - sin a\times\ sin b \,$

$\ cos (a-b)=cos a \times\cos b + sin a \times\sin b \,$

$\ sin (a+b)=sin a \times\cos b + cos a \times\sin b \,$

$\ sin (a-b)=sin a \times\cos b - cos a \times\sin b \,$

$\tan(a+b) = \frac{tan a + tan b}{1-tan a\times\tan b}\ \,$

$\tan(a-b) = \frac{tan a - tan b}{1+tan a\times\tan b}\ \,$

$\cos 2a=cos^2 a -sin^2 a=2cos^2 a -1= 1 - 2sin^2 a \,$

$\sin 2a=2sin a\times\cos a \,$

$\ cos a \times\cos b =\frac{1}{2}(cos (a+b)+ cos (a-b))$

$\ sin a \times\sin b =\frac{1}{2}(cos (a-b)- cos (a+b))$

$\ sin a \times\cos b =\frac{1}{2}(sin (a+b)+ sin (a-b))$

$\ cos a +cos b=2 cos\frac{ a+b }{ 2 }\times\cos\frac{ a-b }{2}\ \,$

$\ cos a -cos b=-2 sin\frac{ a+b }{ 2 }\times\sin\frac{ a-b }{2}\ \,$

$\ sin a +sin b=2 sin\frac{ a+b }{ 2 }\times\cos\frac{ a-b }{2}\ \,$

$\ sin a -sin b=2 cos\frac{ a+b }{ 2 }\times\sin\frac{ a-b }{2}\ \,$

بافرض

داریم:

$\sin\ A = {{2\,t} \over {1+t^{2}}}$

$\cos\ A = {{1-t^{2}} \over {1+t^{2}}}$

$\tan\ A = {{2\,t}\over {1-t^{2}}}$

+ نوشته شده در ساعت توسط وحید شکرزاده |

فرمول های انتگرال

فرمولهای انتگرال نامعیین

$\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \neq 0 \mbox{, constant)}\,\!$

$\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$

انتگرال جزء به جزء

$\int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx$

$\int {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C$

$\int {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C$

$\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(for } n\neq -1\mbox{)}\,\!$

انتگرال توابع گویا

$\int \,{\rm d}x = x + C$

$\int x^n\,{\rm d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ if }n \ne -1$

$\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C$

$\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C$

انتگرال توابع اصم یا گنگ

$\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} {x \over a} + C$

$\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos^{-1} {x \over a} + C$

$\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C$

انتگرال توابع لگاریتمی

$\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C$

$\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C$

انتگرال توابع نمایی

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

انتگرال توابع مثلثاتی

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$

$\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

$\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C$

$\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C$

$\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C$

$\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C$

$\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C$

$\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx$

$\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx$

$\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C$

انتگرال توابع هذلولوی

$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$

$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$

$\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C$

$\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C$

$\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C$

$\int \mbox{sech}^2 x\, dx = \tanh x + C$

انتگرال معکوس توابع هذلولوی

$\int \operatorname{arcsinh} x \, dx = x \operatorname{arcsinh} x - \sqrt{x^2+1} + C$

$\int \operatorname{arccosh} x \, dx = x \operatorname{arccosh} x - \sqrt{x^2-1} + C$

$\int \operatorname{arctanh} x \, dx = x \operatorname{arctanh} x + \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C$

$\int \operatorname{arccsch}\,x \, dx = x \operatorname{arccsch} x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C$

$\int \operatorname{arcsech}\,x \, dx = x \operatorname{arcsech} x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C$

$\int \operatorname{arccoth}\,x \, dx = x \operatorname{arccoth} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C$

فرمول های انتگرال معیین

$\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$

$\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$

$\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}$

$\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}$

$\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}$

$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot n}\frac{\pi}{2}$

(n عدد صحیح زوج و $\scriptstyle{n \ge 2}$ )

$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot n}$

( $\scriptstyle{n}$ عدد صحیح فرد و $\scriptstyle{n \ge 3}$ )

$\int_0^\infty\frac{\sin^2{x}}{x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}$

$\int_0^\infty x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z)$

$\int_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right]$

$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)$

$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)$

$\int_{-\infty}^{\infty}{(1 + x^2/\nu)^{-(\nu + 1)/2}dx} = \frac { \sqrt{\nu \pi} \ \Gamma(\nu/2)} {\Gamma((\nu + 1)/2))}\,$

( $\nu > 0\,$ )

+ نوشته شده در ساعت توسط وحید شکرزاده |

سوال و جواب ریاضی -- مبحث عمومی

حاصل عبارت زیر را بدون استفاده از ماشین حساب، به طور دقیق به دست آورید:

پاسخ :

با اندکی دقت معلوم می شود که حاصلضربهای مخرج همگه با اختلاف ۴ در هم ضرب شده اند

و با تجزیه کسر و گرفتن مخرج مشترک عدد ۴ در صورت هر کسر ظاهر می شود که برای از بین بردن

آن حاصل هر کسر را در معکوس ۴ ضرب می کنیم و با فکتور گیری خواهیم داشت :

+ نوشته شده در ساعت توسط وحید شکرزاده |

بسياري از اوليا براي كمك به كودك خود در آموختن رياضيات ، سعي ميكنند به روشهاي گوناگون متوصل شوند تا مفاهيم پيچيده ي رياضي را به او بياموزند . براي اينكه كودك بهترين كمك را دريافت كند ، بايد هدف را ايجاد اشتياق هرچه بيشتر در نظر گرفت و سعي كرد تا آنجا كه ممكن است فشار را كاهش داد . انگيزه ي يادگيري را با نشان دادن كاربرد گسترده رياضي در زندگي روزمره و اينكه خود اوليا احساس منفي خود را از رياضي به كودك القا نكنند ، مي توان قوي تر ساخت .

سعي كنيد احساس شخصي شما نسبت به رياضي ، شناخت كودك را از دنياي اعداد و محاسبات تحت تاثير قرار ندهد. زمان روش هاي آزار دهنده اي براي آموزش مفاهيم رياضي سپري شده و نگاه جديد سعي در هر چه بيشتر كاربردي تر ساختن اين آموزش دارد تا آموخته هاي كودكان با جهان واقعيت سازگارتر باشد .

با كاربرد روزمره رياضي در زندگي ، كودك به اهميت اين مهارت پي خواهد برد. مثلا به هنگام پرداخت صورت حساب خريد يا اندازه گيري متراژ منزل يا محاسبه وزن مواد غذايي در آشپزي ، مي توان كودك را به كمك طلبيد . با توضيح شغل هاي

مختلف مثل مهندسان ، دارو سازان و ستاره شناسان ، ديد گاه او به كاربرد رياضي گسترده تر خواهد شد .

با صداي بلند حساب كردن در منزل يا فروشگاه ، كه روند محاسبه را به كودك نشان مي دهد نيز روش موثري است . مثلا ، وقتي كودك از شما تقاضاي شيريني مي كند با گفتن اينكه " خوب ، اگر از اين پنج شيريني يكي را تو بخوري و يكي هم خواهرت بخورد براي من و پدرت چند تا باقي مي ماند؟ " از او بخواهيد كه او هم با صداي بلند حسابش را به شما بگويد . مهمتر از جواب درست يا نادرست او ، روالي است كه او براي رسيدن به جواب استفاده مي كند .

بسته به علاقه كودك و البته نظر معلم او ، گاهي و نه هميشه ، ماشين حساب و نرم افزار هاي رايانه اي براي ايجاد هيجان نسبت به مفاهيم رياضي و محاسبات مفيد خواهد بود .

يك ساعت عقربه اي براي كودك تهيه كنيد . گاهي از او سئوالاتي در مورد زمان بپرسيد . مثلا : " اگر برادرت ساعت 4 بيايد ، چند دقيقه ي ديگر بايد منتظر باشيم ؟"

از كودك بخواهيد وزن اشيا ، لوازم منزل ، كتاب و ... را حدس بزند . خود شما هم حدس بزنيد و بعد با ترازو تعيين كنيد كه كدام يك نزديكتر حدس زده است . يك روش ديگر جمع زدن اندازه ي قد يا وزن اعضاي خانواده است تا معلوم شود در مجموع قد يا وزن خانواده شما چقدر است .اين روش براي تمرين جمع اعداد سه يا دو رقمي مناسب است .

بازي هاي خريد و فروش با مقدار هاي مختلف پول كودك را با مفهو م پول و محاسبه آن آشنا مي كند . بازي هايي مثل مونو پولي ،هنوز براي بسياري از اوليا و كودكان جالب است . يك بازي ديگر هم پيشنهاد مي شود: با كمك يك تاس اعداد ، اعضاي خانواده عددي را بين يك وشش بدست مي آورند و برابر آن سكه معيني -مثلا يك توماني - دريافت مي كنند ، وقتي مجموع سكه ها به رقمي قابل تعويض رسيد ، آنرا با اسكناس يا سكه ي پر ارزش تر ، معاوضه مي كنند . وقتي بودجه فرضي تمام شد ، كسي كه بيشترين ميزان پول را بدست آورده است ، برنده مي شود . در مثالي ديگر، مي توان كودك را با بودجه اي معين براي خريد لوازم يك وعده غذا به حساب دعوت كرد و ديد كه چطور بودجه بندي را مي آموزد و آيا حدس هاي او قابل انجام است؟ و اگر چنين بود بر همان اساس خريد انجام بشود .

يك روش براي آشنايي وي با مفهوم حجم ، وزن و نسبت اين است كه با كمك ظروف اندازه گيري از او بخواهيد مقادير برنج ، حبوبات يا مايعات را براي تهيه ي غذا پيمانه كند .

گاهي اوليا نگران توان يادگيري فرزندشان هستند . در اين شرايط ، معلمان بهترين داوري را عرضه مي كنند زيرا امكان مقايسه كودك را در كنار همكلاسان ديگر و شرايط مختلف مدرسه دارند . علائمي مانند مشكل در ياد آوري ارقام ، اشتباه نوشتن اعداد مثلا 7 با 8 يا 3 با 2 ، كلافه شدن و بيقراري هنگام كار با ارقام ، ناتواني در دنبال كردن دستور العمل هاي ساده رياضي ، ناتواني در درك مفاهيم ذهني مثل بزرگتر و كوچكتر يا قبل و بعد يا كم سن تر و مسن تر و اضطراب بالا در مورد تكاليف رياضي كه اگر همه يا اغلب شان در يك كودك ديده شود بايد با معلم كودك صحبت نمود . چون قبل از آنكه تشخيص اختلال يادگيري مطرح شود بايد اين احتمال كه شايد كودك تحت فشار زياد تر از حد توان است يا نيازمند تمرين هايي مانند آنچه در بالا ذكر شد است ، رد شود . سرانجام ممكن است اوليا و معلم ، به اين نتيجه برسند كه كمك روانپزشكي براي كودك لازم است

+ نوشته شده در ساعت توسط وحید شکرزاده |

چرا ریاضی می خوانیم ؟

مقاله‌اي از: دكتر كورش اسلامي

فكر مي‌كنم با اوضاع و احوال كنوني كه هر محاسبه‌‌اي از هر قسم و هر نوع با زدن يك دكمه توسط نرم‌افزارهاي متنوع انجام مي‌شود صحبت از اين‌كه خواندن رياضيات از ملزومات زندگي روزمره است كمي ساده‌انگارانه باشد‌‌. ديگر آن زمان كه لازم بود بسياري چيزها ياد بگيريم تا بتوانيم منحني يك تابع را رسم كنيم گذشته است‌‌. امروزه اين كار حتي از عهده‌‌‌‌ي ساده‌ترين ماشين‌حساب‌ها نيز بر‌مي‌‌آيد‌‌. ديگر آن روز‌‌ها كه به بچه‌ها مي‌گفتيم كه حتي اگر وارد كار تجارت نيز بشويد باز براي رسيدگي به حساب و كتاب‌هايتان بايد رياضيات بدانيد سپري شده است. تمام اين كارها توسط نرم‌افزارهايي كه به‌سادگي در دسترس همگان است انجام مي‌شود.

پس‌‌، راستي چرا رياضيات مي‌خوانيم؟ به نظر من اين سؤال وقتي قابل بحث و بررسي است كه نگاهي كمي كلي‌‌تر به برنامه‌ي آموزش عمومي داشته باشيم‌‌. از رياضيات كه بگذريم راستي، اصلاً چرا زیست یا فيزيك يا شيمي يا ادبيات . . . مي‌خوانيم؟ هدف آموزش عمومي چيست؟ شما در اين مورد چه فكر مي‌كنيد؟

آن‌چه مي‌‌‌بينيد نظر من است‌‌. شما هم اگر نظري داريد منتظريم:

هدف اساسي و اصلي آموزش عمومي (اگر‌چه در كشور ما گم شده است) آموختن شيوه‌ي تفكر و استدلال به دانش‌آموزان است. اگر به اين هدف توجه كنيم بقيه‌ي كارها بسيار ساده است‌‌. فكر مي‌‌كنم موافقيد كه نمي‌توانيم بچه‌ها را سر كلاس بنشانيم و بگوييم‌‌: «‌خُب‌‌، قرار است كه فكر كنيم و فكر كردن را ياد بگيريم‌‌‌‌» فكر كردن نياز به ابزار و بهانه دارد‌. حال گستره‌ي اين ابزارها و بهانه‌‌ها مي‌تواند بسيار وسيع باشد. ممكن است فكر كنيم كه حالا كه قرار است فكر كردن را تجربه كنيم و استدلال و تحليل‌كردن را ياد بگيريم‌‌، بهترين ابزار چيزي مثل فلسفه يا منطق است. اما خُب‌‌، دقت كنيد كه اصلاً نمي‌شود با يك ‌كودك يا نوجوان در مورد فلسفه و چيزهايي مثل وحدت وجود يا كثرت وجود يا پديدار‌شناسي و هرمنوتيك و . . . حرف زد. رياضيات، فيزيك‌، شيمي‌، ادبيات و . . . همگي ابزارهايي هستند كه اين بهانه‌‌ها را فراهم مي‌كنند و در عين حال زمينه‌ساز پديدآمدن يك ذهن آماده براي ورود به رشته‌هاي مختلف دانشگاهي هستند‌‌. شايد اين چيزها را (‌باز هم مثل خيلي چيزهاي ديگر) فرنگي‌ها بسيار بهتر و كامل‌تر از ما فهميده‌اند. چندي پيش يك كتاب پيش‌نياز جبر را كه براي دوره كالج نوشته شده بود بررسي مي‌‌كردم. آن‌چه ديدم خيلي ساده بود: مطالب آن كتاب در سطح سال سوم راهنمايي و حداكثر اول دبيرستان كشور ماست.

راستش را بخواهيد بچه‌هاي ما در دوره‌ي دبيرستان (‌‌سه سال آموزش متوسطه و يك سال پيش‌دانشگاهي‌‌) تقريباً تا سطح درس‌هاي سال دوم دوره‌ي دانشگاه‌هاي كشور‌هاي خارج را مي‌خوانند‌‌. اما در كمال تعجب ما در هيچ‌كدام از رشته‌هاي علوم محض (‌رياضي‌‌، فيزيك‌‌‌‌، شيمي‌‌ و . . .‌‌‌) نظريه‌‌‌پرداز و محقق نداريم‌. ما فكر مي‌‌كنيم هر چه‌قدر بيش‌تر بخوانيم و هرچه بتوانيم مسائل بيش‌تري حل كنيم حتماً موفق‌تريم. چندي پيش يكي از كساني كه مي‌شناختم با تعجب تعريف مي‌كرد كه فلان استاد دانشگاه شريف بلد نبود يك انتگرال ساده را محاسبه كند و وقتي اين را تعريف مي‌كرد بسيار حيرت‌‌زده بود كه چه‌طور چنين چيزي ممكن است. آن‌چه او توجه نكرده بود اين بود كه محاسبه‌‌ي يك انتگرال چندان مهم نيست. آن‌چه لازم است قوه‌‌ي تحليل و تفكر است‌‌. متأسفانه با نظام فعلي آموزش و پرورش و بدتر از آن با شيوه‌ي كنوني پذيرش دانشجو (‌كنكور سراسري و دانشگاه آزاد‌‌)‌‌، تقريباً پرونده هرچه تفكر و تعقل و تحليل بسته است و تنها نكته‌‌ي مهم براي دانش‌آموزان و معلمان كسب درصد‌‌هاي بيش‌‌تر در اين مسابقه است.

خُب‌‌‌، شايد با اين حرف‌‌ها برسيم به يك نقطه‌‌ي كور‌‌، آموزش دانش‌‌آموزان كه به عهده‌‌ي وزرات آموزش و پرورش است و پذيرش آن‌ها هم با سازمان سنجش‌‌، پس براي ما چه مي‌ماند‌‌. باز هم همان بحث جهان سومي بودن و . . . اما قضيه‌‌‌، ساده‌تر از اين حرف‌ها است‌‌. شايد شما با دانش‌‌‌‌آموزي سر و كار داريد كه در حال درس خواندن است‌‌، بچه‌هاي خودتان‌، برادرتان‌‌، خواهرتان‌‌، برادرزاده‌، خواهرزاده‌، همسايه و يا . . . خُب‌‌، حالا چه‌كار مي‌توانيد بكنيد‌‌؟ بگذاريد يك سؤال ساده بپرسيم.

دانش‌‌آموزي كه در دبستان درس مي‌خواند و به او گفته‌اند كه محيط دايره برابر) يعني قطر ضرب‌ در عدد پي( است‌‌. اگر او از شما بپرسد چرا قطر ضرب‌در عدد پي‌‌؟ چه جوابي مي‌دهيد‌‌؟

آيا مي‌گوييد‌: «‌خُب‌‌، رياضي‌دان‌ها قبلاً بررسي كرده‌اند كه محيط دايره تقريباً برابر حاصل‌ضرب عدد پي در قطر آن است‌‌» اگر اين جواب را بدهيد و من آن دانش‌آموز باشم نتيجه مي‌‌گيرم كه شما داريد حاشيه مي‌‌‌رويد و خودتان هم جواب را نمي‌‌دانيد‌‌‌. چه راهي براي توضيح اين مطلب سراغ داريد‌؟ مثالي كه زدم چندان اهميت ندارد (‌راستي جوابش را مي‌دانيد‌‌؟‌‌!‌‌) مهم آن است كه در ذهن يك دانش‌آموز هميشه يك «‌چرا‌؟‌‌» زنگ بزند‌‌. هر‌چه كه مي‌خواند يا مي‌شنود فوري فكر كند «‌چرا‌؟‌‌» (‌اگر‌‌چه باز هم در كشور ما خيلي از اين چراها جواب ندارد‌‌!‌‌‌‌) هدف از خواندن رياضيات همين است‌‌‌‌. يعني هدف اصل‌اش همين است و بقيه‌‌ي چيزها يعني مهارت در محاسبات و يادگرفتن حد و مشتق و انتگرال و از اين جور چيزها همه فرعي‌اند‌‌. باور نمي‌كنيد يك نفر را كه رياضيات را اين‌‌جوري ياد گرفته باشد بياوريد تا من هر‌چه را كه مي‌خواهيد يادش بدهم‌‌. (خيلي حرف بزرگي بود، نه؟!)

اگر با خواندن اين سطرها كمي احساس افسوس و حسرت داريد كه اي واي پس چرا ما اين‌‌طوري نبوديم و نخوانديم و يا چرا با ما اين‌‌‌جوري رفتار نكردند، اصلاً اشكالي ندارد چون يكي آن‌‌كه از الآن به بعد هم دير نشده است‌‌، لازم نيست رياضيات بخوانيد فقط كمي بيش‌‌‌تر بگرديد و كنجكاو باشيد و فكر كنيد‌‌، كمي هم بيش‌‌تر بپرسيد چرا‌‌؟ و دوم و مهم‌تر از اولي آن‌كه به كودكان و نوجوانان دور و برتان توجه كنيد‌‌، هر‌‌‌‌چه مي‌توانيد بكنيد تا در آن‌‌ها يك روحيه‌ي پرسش‌گر ايجاد كنيد.

+ نوشته شده در ساعت توسط وحید شکرزاده |

استقرا

استقرا (induction): استقرا یعنی رسیدن به نتیجهٔ کلی از طریقِ مشاهداتِ جزیی و مکرر. این نوع از استدلال با استنتاج فرقِ اساسی دارد، زیرا می‌توان از جزیی به کلی رسید، با داشتنِ مقدمات نتیجه ضروری نمی‌گردد، و می‌توان از مقدماتِ صادق به نتیجهٔ کاذب رسید. به مثالِ زیر توجه کنید:

حسن ملی‌گرا است.

علی ملی‌گرا است.

رضا ملی‌گرا است.

نتیجه: همهٔ ایرانی‌ها ملی‌گرا هستند.

همان‌طور که دیده می‌شود با وجودِ مقدمات نتیجه ضروری نمی‌گردد. تنها نوعِ استقرا که در آن چنین ضرورتی وجود دارد استقرایِ کامل است: فرض کنید در اتاقی ده نفر حضور دارند و فرض کنید یک نظرسنجی از همهٔ آن‌ها نشان می‌دهد که همه ملی‌گرا هستند. دراین‌صورت می‌توان گفت: «همهٔ افرادِ این اتاق ملی‌گرا هستند». این نتیجه‌گیری با این که از جنسِ استنتاج نیست اما ضرورتاً صحیح است. اما در بیش‌ترِ موارد دسترسی به همهٔ موارد وجود ندارد، بویژه اگر موضوعِ موردِ بررسی بتواند در آینده نیز پیش آید. حتی اگر همهٔ کلاغ‌هایِ امروزی را دانه به دانه بررسی کنیم و مشاهده کنیم که همگی سیاه هستند نمی‌توان نتیجه گرفت که «همهٔ کلاغ‌ها سیاه هستند» زیرا این حکم کلاغ‌هایِ آینده را نیز شامل می‌شود.

در ادامه اشکالاتِ استقرا و استقراگرایی را بررسی خواهیم نمود، اما در این‌جا اشاره به این نکته مفید است که با وجودِ همهٔ اشکالات اگر استقرا نباشد احتمالاً یکی قوی‌ترین راه‌هایِ به دست آوردنِ گزاره‌هایِ کلی از دست می‌رود، و چنانچه این گزاره‌ها نباشند احتمالاً مصادیقِ زیادی از استدلال‌هایِ استنتاجی نیز از بین می‌روند (زیرا در استنتاج مقدمات کلی هستند).

3-ربودن (abduction): «ربودن» در واقع نوعی حدس زدن است. این نوع از استدلال در تقسیم‌بندیِ ارسطو وجود ندارد، اما در فلسفهٔ علمِ جدید بسیار اهمیت دارد. نامِ دیگرِ این استدلال استنتاجِ بهترین تبیین است. تبیینِ (explanation) یک پدیده عبارت است از بیانِ علل و عواملِ رخ دادنِ آن پدیده بطوری که رخ دادنِ آن توجیه گردد. از دیدِ بسیاری از فلاسفه یکی از اهدافِ اساسی و محوریِ علم بطورِ کلی تبیینِ پدیده‌ها ست. ربودن یا استنتاجِ بهترینِ تبیین عبارت است از رسیدن به یک (بهترین) فرضیه از یک مجموعه از مشاهدات. این استدلال به این ترتیب است:

مشاهدهٔ O برقرار است.

فرضیهٔ H مشاهدهٔ O را تبیین می‌کند.

فرضیهٔ H بهترین فرضیه از میانِ رقیبان‌اش است.

نتیجه: H صادق است.

این شکلِ استدلال - که بحث‌هایِ مفصلی را در فلسفهٔ علم به خود اختصاص داده است-، نیز از نوعِ استدلال‌هایِ غیرِالزام‌آور است، یعنی داشتنِ مقدمات داشتنِ نتیجه را ضروری نمی‌کند.

روش‌شناسیِ استقراگرایانه

حال که با ماهیتِ استدلالِ استقرایی آشنا شدیم می‌توانیم ببینیم استقراگرایی به چه معنا ست.

مسلم است که در علم از استدلالِ استنتاجی استفاده می‌شود. تمامِ استدلال‌هایِ منطقی و ریاضی - که مثلاً در فیزیک کاربردِ عمده دارند - از جنسِ استنتاج هستند. اما دیدیم که استنتاج نمی‌تواند برایِ ما قوانینِ کلی پدید آورد (ممکن است گفته شود قوانینِ منطق کلی هستند؛ اما اولاً این قوانین بر استنتاج حاکم اند نه این که خود مبتنی بر استنتاج باشند، و ثانیاً این قوانین غیرِ تجربی اند، در حالی که قوانینِ فیزیک تجربی اند). پس علوم قوانینِ کلی را از کجا می‌آورند؟ باید چیزی بیش از استنتاج بر علم حاکم باشد، وگرنه علمی وجود نخواهد داشت.

فرانسیس بیکن فیلسوفِ قرنِ شانزدهمِ میلادی نخستین کسی بود که استقرا را پیشنهاد داد. او معتقد بود که:

1. استقرا باید در علومِ طبیعی به کار رود تا قوانینِ کلی پدید آیند.

2. استقرا یک شیوهٔ استدلالِ موجه و معقول است.

بیکن به دانشمندانِ آینده توصیه نمود (در زمانِ بیکن در واقع هنوز دانشمندی به معنایِ مدرن وجود نداشت، و به‌همین‌دلیل شاید بتوان بیکن را پیامبرِ علم نامید) که هرچه می‌توانند داده جمع‌آوری کنند، و جداولی طراحی کنند که این داده‌ها بطورِ منظم در آن‌ها قرار داده شده‌اند. بدین‌ترتیب قانونِ علمی خود‌به‌خود از دلِ داده‌ها بیرون خواهد آمد. در واقع می‌توان نظمِ حاکم بر داده‌ها را کشف نمود و سپس آن را در یک استدلالِ استقرایی تعمیم داد.

هدفِ علم از نظرِ بیکن دو چیز بود: علمِ مطلق و قدرتِ مطلق. دو آرزویِ بزرگی که علم برایِ بشر برآورده خواهد نمود.

مثال‌هایی از اکتشافاتِ علمی در تاریخ وجود دارد که گویا کاملاً با روشِ بیکن انجام شده‌اند. تیکو براهه منجمِ هلندی که استادِ کپلر فیزیکدانِ مشهورِ آلمانی بوده است رصدهایِ متعددی دربارهٔ مکانِ سیاراتِ منظومهٔ شمسی انجام داد که داده‌هایِ فراوانِ حاصل از آن‌ها اساسِ قوانینِ سه‌گانهٔ کپلر را فراهم آورد.

پوزیتیوست‌هایِ منطقی به معنایِ دقیقِ کلمه «استقراگرا» نبودند، مگر آن که واژه را به معنایِ متفکری به کار بریم که صرفاً استقرا را مجاز می‌داند، و دربارهٔ مبانیِ منطقیِ آن تئوری می‌پردازد.

مشکلاتِ استقراگرایی

استقراگرایی با وجودِ جذابیت‌اش دچارِ مشکلاتِ بسیاری است. دیدیم که بیکن دو اعتقاد دربارهٔ استقرا داشت. این دو اعتقاد در پیروانِ بعدیِ وی نیز باقی ماند. اشکالاتِ عمدهٔ این روش‌شناسی بتبعِ این دو گزاره به دو دسته تقسیم می‌گردند:

۱- ساده‌ترینِ این مشکلات جور در نیامدنِ این روش‌شناسی با تاریخِ علم است. براستی مثال‌هایی از تاریخ که استقراگرایی را تأیید کنند چقدر هستند؟ می‌دانیم که نیوتن موفق شد نظریه‌ای بپردازد (نظریهٔ جهانیِ گرانش) که هر سه قانونِ کپلر و قوانینِ گالیله در موردِ سقوطِ آزاد را همزمان به دست دهد. این کشف بعلاوه توضیح می‌داد که چرا معقول است فکر کنیم که زمین دورِ خورشید می‌گردد، و ضمناً علتِ جذبِ اشیا توسطِ زمین و علتِ گردشِ اجرام به دورِ یکدیگر را به یک علتِ واحد کاهش می‌داد. آیا نیوتن قانونِ جهانیِ گرانش را با نگاه به داده‌هایِ تجربی به دست آورد؟ آیا واقعاً خیره شدن به داده‌هایِ تیکو براهه یا قوانینِ کپلر ما را به قانونِ نیوتن می‌رساند؟ دراین‌صورت چرا خودِ کپلر آن را کشف نکرد؟ افسانهٔ عامیانه‌ای که در موردِ نیوتن هست بخوبی توضیح می‌دهد که این‌طور نیست (این که خوردنِ یک سیب به سرِ نیوتن او را به این کشف رساند). به نظر می‌رسد که نظریهٔ نیوتن بر داده‌هایِ تجربی استوار نبود، بلکه او ابتدا نظریه‌اش را داد و سپس به دنبالِ داده‌هایِ تجربی برایِ تأییدِ آن رفت.

پس نظریهٔ فرانسیس بیکن ادعا می‌کند که روشِ کشفِ همهٔ دانشمندان از طریقِ استقرا است، اما تاریخ این امر را تأیید نمی‌کند. مثالِ معروفِ دیگر در این زمینه ککولهٔ شیمی‌دان است. این دانشمند که فکرش مدت‌ها مشغولِ ساختارِ ملکولیِ ماده‌ای شیمیایی به نامِ بنزن بود، و از داده‌هایِ تجربی راه به جایی نمی‌برد، یک روز در خواب توانست ساختارِ شیمیاییِ بنزن را کشف کند! اینشتین نظریهٔ نسبیت (هم خاص و هم عام) را نه بر اساسِ هیچ داده یا آزمایشی بلکه برایِ حلِ برخی مسایلِ صرفاً نظری که سلیقهٔ او را آزار می‌داد اختراع نمود. مثال‌هایی از این دست در تاریخ فراوان اند. بنابراین به نظر می‌رسد که باورِ نخستِ استقراگرایی دچارِ مشکلاتِ تاریخی است.

۲- آیا استقرا روشی موجه و معقول است؟ یکی از بزرگ‌ترین فلاسفه‌ای که نادرستیِ این باور را نشان داد و به گفتهٔ راسل تا مدتی موجبِ بی‌اعتبار شدنِ علم گردید دیوید هیومِ انگلیسی بود.

هیوم از فیلسوفانِ تجربه‌گرا و شاید مهم‌ترینِ ایشان بود. او در کتابِ رساله در بابِ طبیعتِ بشری تجربه‌هایِ حسیِ اولیه را نخستین منشأ هرگونه دانشی دربارهٔ جهان می‌داند و وجود هر دانشی که بطورِ پیشینی و خارج از تجربه در ذهن باشد را انکار می‌کند. او با جان لاک هم‌عقیده است که ذهن در آغاز لوحِ سفیدی است. هیوم این مسأله را مفصلاً تحلیل می‌کند که تصورات، احساسات و باورهایِ مختلفِ انسان چگونه از حسیاتِ اولیه آغاز گشته و طیِ فرایندهایِ روانی کلیت یافته و یا تعمیم می‌یابند. او بویژه با تحلیلِ دو مفهومِ مهمِ علیت و استقرا تاریخِ فلسفه را تحتِ تأثیرِ خویش قرار داد.

هیوم بر این باور بود که استقرا یک فرایندِ صرفاً روانی است. نه منطقاً و نه بطورِ تجربی نمی‌توان استقرا را موجه جلوه داد:

بطورِ منطقی: این که تا کنون هر روز خورشید طلوع کرده است منطقاً هیچ ارتباطی به این امر ندارد که فردا هم طلوع کند. همان‌طور که یک جوجه ممکن است فکر کند که زنِ مزرعه‌دار هر روز به او غذا می‌دهد، اما بعد از چند سال یک روز زنِ مزرعه‌دار مثلِ هر روز سر برسد با این تفاوت که این بار سرِ جوجه را ببرد. استقرا صرفاً یک فرایندِ روانیِ ناموجه است.

بطورِ تجربی: شاید ادعا شود که می‌توان استقرا را با تجربه موجه نمود. می‌توانیم بگوییم که دانشمندانِ علومِ طبیعی از استقرا استفاده نموده و می‌نمایند و این کار بسیار برایِ علم مفید بوده است، پس استقرا مفید و موجه است. اما اگر یک بارِ دیگر این استدلال را تحلیل کنیم می‌بینیم که دچارِ دور است زیرا در خودِ آن از استقرا استفاده شده است.

پس دیدیم که استقراگرایی مشکلاتی دارد. البته واضح است که همواره می‌توان برایِ پاسخ به انتقادها تلاش نمود و نمونه‌هایِ پیشرفته‌تری برایِ نظریه یافت که مشکلاتِ سابق را نداشته باشد. پس از هیوم استقراگرایی نابود نشد، بلکه نمونه‌هایِ پیشرفته‌تری از آن (بویژه در قرنِ بیستم بتوسطِ پوزیتیویست‌ها) پدید آمدند.

+ نوشته شده در ساعت توسط وحید شکرزاده |

دوزلی اوغلان آذربایجانی تورکی شعر موزیک

وحید شکرزاده تورکی شعرلر و آذری آهنگ موسیقی آذربایجانی و ترکی duzlu oğlan

فرمولهای لگاریتم

فرمول های مشتق

فرمولهای مثلثات

فرمول های انتگرال

سوال و جواب ریاضی -- مبحث عمومی

آموزش ریاضی به کودکان

چرا ریاضی می خوانیم ؟

استقرا

نوشته‌های پیشین

آرشیو موضوعی

برچسب‌ها

نویسندگان

پیوندها